Divisão da lemniscata em partes iguais

O objectivo deste texto é o de completar, em detalhe, o lado direito da tabela que se anexa, que compara o papel de duas curvas - a circunferência unitária e a lemniscata de Bernoulli - na construção das inversas das funções comprimento de arco e na divisão em partes iguais. As lemniscatas caracterizam-se por serem conjuntos de pontos do plano cujo produto das distâncias a dois pontos fi xos é constante. O cálculo do comprimento total da lemniscata que aqui consideramos conduz a um integral elíptico (Bernoulli, 1694), de função que não tem primitiva imediata mas cujo valor se obtém por procedimento elementar através do algoritmo, delineado por Lagrange (1785)e Gauss (1790), que constrói a média aritmética e geométrica de dois números positivos. A função comprimento de arco da lemniscata tem propriedades semelhantes às conhecidas para a arco seno trigonométrico e a sua inversão conduz a um caso particular, de especial interesse, na família das funções elípticas: o seno da lemniscata, senlem. Esta é uma função periódica de período 2w cuja extensão meromorfa aos complexos é duplamente periódica (de período 2w e 2wi)e portanto elíptica, onde 2w designa o comprimento total da lemniscata que substitui neste contexto 2pi, o comprimento da circunferência unitária e período da função seno trigonométrico, sen. Veri ca fórmulas de adição análogas às da função seno, obtidas por Euler em 1751 depois de receber cópia da obra de Fagnano (1718)onde se deduz uma fórmula para o comprimento do dobro de um arco de lemniscata e, consequentemente, que é possível duplicar arcos de lemniscata, com régua não graduada e compasso. A possibilidade de construir, com régua não graduada e compasso, um polígono regular de n lados é equivalente à divisão, com estes instrumentos, da circunferência unitária em n arcos de igual comprimento; e este procedi- mento corresponde à construção dos reais sen (2kpi/n), onde 0 <= k < n-1, uma vez que os valores dos cossenos destes ângulos têm uma relação quadrática com os senos. Gauss e Wantzel provaram que esta construção é possível se e só se n = 2^kp1p2...pt, onde k é um inteiro não negativo e p1, p2, ... , pt são primos de Fermat distintos. Por falta de simetria, estas interligações geométricas não se transferem integralmente para o contexto da lemniscata e por isso não falaremos aqui da inscrição de polígonos regulares na lemniscata. O que Abel (1827) generalizou para a lemniscata foi a equivalência entre a possibilidade de construir, com régua não graduada e compasso, os reais senlem(2kw/n), onde 0 <= k <= n - 1, e os valores de n como descritos acima. Ou seja, é possível dividir em n arcos de igual comprimento um quadrante da lemniscata se e só se n tem a factorização indicada. Na apresentação que aqui fazemos deste assunto seguiremos de perto os textos de [Hadlock] e [Rosen]; a bibliogra a contém outras referências que complementam o texto. Como apoio, incluiram-se alguns capítulos de abordagem geral, mas resumida, sobre funções elípticas, números construíveis, polígonos regulares construíveis - seguindo as demonstrações originais de Gauss e Wantzel - e a Teoria de Galois

Dinâmica do desdobramento de sólidos geométricos com recurso ao GeoGebra 2D

O GeoGebra é um software educacional livre que permite manipular objetos matemáticos do plano, representando-os algébrica e geometricamente. Neste artigo recorremos a conceitos matemáticos, como matrizes de mudança de base e transformações lineares, a fim de simularmos a representação de objetos tridimensionais em GeoGebra e implementarmos um procedimento para a planificação de prismas regulares retos.Instituto Politécnico de Bragança, Centro de Matemática da Universidade do Port

Construção das secções planas de um cubo e sua representação em ambiente 2D do GeoGebra

A dimensão gráfica constitui uma componente fundamental do estudo da geometria, pelo que o recurso a tecnologias com características pedagógicas adequadas seja importante. O GeoGebra 4.0 por ser um software educacional livre que agrega simultaneamente um sistema de álgebra computacional, um sistema geométrico interativo e um sistema de cálculo é o exemplo de uma ferramenta facilitadora do processo ensino-aprendizagem dos conteúdos desta área. Neste trabalho simulamos um sistema de coordenadas tridimensional representado em ambiente bidimensional a fim de visualizar e manipular objetos geométricos 3D. Utilizando este sistema de coordenadas representamos um cubo e descrevemos um procedimento para a construção da secção determinada por um plano definido por três pontos móveis, não colineares, sobre as suas arestas. A visualização e manipulação de tal construção permitem observar, conjeturar e demonstrar relações entre a geometria de uma secção e a posição do plano de corte. A compreensão e a capacidade de representação de um tal procedimento por parte dos alunos respondem positivamente às indicações metodológicas dos programas do Ensino Secundário. Com efeito, em (DES, 2001, p.25) pode ler-se “É conveniente que o estudante fique a saber desenhar representações planas dos sólidos com que trabalha, a descrever a intersecção do cubo com um plano dado, a saber construir e a desenhar uma representação da intersecção obtida”

Observando propriedades de figuras planas com o GeoGebra

Com o objetivo de facilitar o ensino da Geometria no plano e permitir que os alunos se apropriem rapidamente das potencialidades gráficas associadas ao plano cartesiano, propomos o desenvolvimento de tarefas de uma forma interativa. Qualquer software dinâmico serve o nosso propósito, porém usaremos o GeoGebra por ser um programa grátis, de fácil utilização, pouco exigente em termos de capacidades computacionais e muito potente para os fins em vista. Na Sessão Prática serão exploradas potencialidades do GeoGebra, através da realização de atividades para o estudo e compreensão de conceitos relacionados com as propriedades de figuras planas e com as transformações geométricas no plano

Interface para processamento de imagem em C++ utilizando Visual Studio. NET 2005

Este relatório tem por objectivo apresentar uma interface, em fase de desenvolvimento, que realiza funções básicas características de uma aplicação do sistema operativo Microsoft Windows e implementar um algoritmo simples do domínio do processamento de imagem.The aim of this report is to present an interface which is being in development. It performs basic functions which are typical in software applications of the Microsoft Windows operating system and it implements also a basic algorithm of image processing domain

GeoGebra classroom, em período de confinamento, no ensino e aprendizagem das propriedades dos quadriláteros

Este artigo apresenta uma experiência de aprendizagem on-line com o uso do GeoGebra Classroom, ocorrida durante o primeiro período de confinamento em Portugal, de março a junho de 2020, provocado pela pandemia da COVID19. Além dos investigadores, participam também neste estudo duas turmas de 7º ano, do ensino básico, de uma escola secundária. Brevemente, são apresentadas as características inerentes ao ecossistema GeoGebra Classroom, descrevendo os materiais construídos e aplicados na aula à distância. Os conteúdos de ensino e aprendizagem incidiram na construção e nas propriedades dos quadriláteros. Também analisaremos o percurso da experiência de ensino realizada, refletindo sobre as virtualidades desta abordagem on-line, comparando-a com outras situações de ensino presencial. Finalmente, os resultados desta experiência de ensino serão discutidos, apontando os seus pontos fortes e fracos, delineando alguns aspetos a serem acautelados no desenvolvimento de experiências futuras semelhantes

Computer analysis of objects’ movement in image sequences: methods and applications

Computer analysis of objects’ movement in image sequences is a very complex problem, considering that it usually involves tasks for automatic detection, matching, tracking, motion analysis and deformation estimation. In spite of its complexity, this computational analysis has a wide range of important applications; for instance, in surveillance systems, clinical analysis of human gait, objects recognition, pose estimation and deformation analysis. Due to the extent of the purposes, several difficulties arise, such as the simultaneous tracking of manifold objects, their possible temporary occlusion or definitive disappearance from the image scene, changes of the viewpoints considered in images acquisition or of the illumination conditions, or even nonrigid deformations that objects may suffer in image sequences. In this paper, we present an overview of several methods that may be considered to analyze objects’ movement; namely, for their segmentation, tracking and matching in images, and for estimation of the deformation involved between images.This paper was partially done in the scope of project “Segmentation, Tracking and Motion Analysis of Deformable (2D/3D) Objects using Physical Principles”, with reference POSC/EEA-SRI/55386/2004, financially supported by FCT -Fundação para a Ciência e a Tecnologia from Portugal. The fourth, fifth and seventh authors would like to thank also the support of their PhD grants from FCT with references SFRH/BD/29012/2006, SFRH/BD/28817/2006 and SFRH/BD/12834/2003, respectively

Typical Weather Conditions of Large Wildfires in Portugal (1980–2018)

UIDB/04209/2020 UIDP/04209/2020publishersversionpublishe

Educação sanitária e medicina preventiva

This work will be accomplished through educational and sanitary activities, and courses developed since September 1967, with the purpose of improving health and nourishment standards. These courses are being given to 2nd and 3rd grades from "Escolas Normais", and to mothers of primary educational level, who live in the suburbs. More advanced students, in the 1st grade of high-school are already applying the education received, about Health Education, Agriculture, and Food Education in all primary schools establishments in Santo André (80 units with 54000 students). We conclude, by stating that attending courses of this sort, it is possible, to obtain participation of the population, in preventing problems which may arise from the lack of knowledge on sanitation, agricultural practices and well oriented nourshment. This type of work will only succeed, with a team work of technical elements in the administrative sectors of the city, state and federal branches, and of the community involved.Foram apresentados programas de atividades educativas, sanitárias e cursos desenvolvidos desde setembro de 1967, com o fito de melhorar os padrões de saúde e alimentação de parte da população do município de Santo André, São Paulo. Os cursos têm sido ministrados às normalistas e às mães de instrução primária, residentes em zonas afastadas do Centro urbano. As alunas dos Cursos já estão pondo em prática os ensinamentos recebidos, divulgando conhecimentos de Educação Sanitária, de Agricultura e de Educação Alimentar em todos os Estabelecimentos de Ensino primário de Santo André, num total de 80 unidades com 54.000 alunos matriculados. Conclui-se que através de cursos dessa natureza é possível conseguir a participação de uma população para sanar possíveis problemas advindos da falta de conhecimento de medidas de saneamento, práticas agrícolas e de uma alimentação bem orientada. Trabalhos desta natureza só são votados a êxito quando houver participação conjunta de elementos técnicos dos setôres administrativos municipais, estaduais, federais, particulares e da própria comunidade trabalhada

Contributions to forecasting and preparedness

UIDB/04209/2020 UIDP/04209/2020 GFC/0109/2017Available research has extensively examined the spatiotemporal patterns of fire-weather regime in Portugal, but a comprehensive climatology of extreme wildfires is still under development. This study calls for different strategies and scales of analysis aiming to describe the relationships between medium and low troposphere weather conditions and severe fire behaviour in mainland Portugal, between 1980 and 2018. In particular, critical fire-weather patterns and thresholds that can contribute to operational and forecasting know-how in short and medium time ranges are presented. We updated the general trends in the fire regime with a new, longer daily burned area series and developed a method that identifies Extreme Wildfire Periods (EWP) that form the basis for climate analysis. Synoptic analysis using Circulation Weather Types (CWT) showed that the northeasterly and easterly directional flows are significantly associated with EWP and produce the most severe fire-weather conditions. The four main CWT related to extreme fire are driven from anticyclones over the eastern Atlantic between the Azores and the British Isles. However, severe situations can also be regulated by CWT with marginal presence in both summer and EWP: low systems located to the west and northwest of Iberia carrying air masses from the south quadrant are related to catastrophic events. Regarding the antecedent climate, the results indicate that the coincident meteorological drought, whether weak or intense, is a necessary but not sufficient condition for the development of an EWP. An increasing relevance of water stress for shorter intervals preceding EWP, in the order of days and weeks, is apparent. Following these results, fine dead fuel moisture thresholds related to transitions in fire behaviour in Portuguese landscapes are computed using a promising predictive moisture content model. Finally, the different methods used are summoned for the detailed analysis of an EWP starting under unusual synoptic circulation.publishersversionpublishe